Главная » Интересно

Формула площади параллелограмма через диагонали — простое объяснение и примеры

На чтение 4 мин Опубликовано Обновлено

Параллелограмм — это частный случай четырехугольника, у которого противоположные стороны параллельны. В геометрии параллелограммы являются важными объектами, и для их изучения необходимо знать основные формулы, позволяющие вычислять площадь фигуры. Одной из таких формул является формула площади параллелограмма через диагонали.

Диагонали параллелограмма — это отрезки, соединяющие противоположные вершины фигуры. Диагонали делят параллелограмм на два равных треугольника. Зная длины диагоналей, можно легко вывести формулу для вычисления площади.

Формула площади параллелограмма через диагонали:

S = d1 * d2 * sin(α),

где S — площадь параллелограмма, d1 и d2 — длины диагоналей, α — угол между диагоналями.

Эта формула является производной от формулы площади простого параллелограмма, где площадь равна произведению длин сторон на синус угла между ними. Формула площади через диагонали делает вычисления более простыми, так как позволяет использовать известные значения диагоналей и угла между ними.

Содержание
  1. Определение параллелограмма и его свойства
  2. Как найти длины диагоналей параллелограмма
  3. Объяснение формулы площади параллелограмма через диагонали
  4. Примеры расчета площади параллелограмма через диагонали

Определение параллелограмма и его свойства

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине. Это означает, что сторона AB равна стороне CD, а сторона AD равна стороне BC.
  2. Противоположные углы параллелограмма равны. Угол A равен углу C, а угол B равен углу D.
  3. Сумма углов внешних, прилегающих к одной стороне, в параллелограмме равна 180 градусам.
  4. Диагонали параллелограмма делятся пополам и являются векторами его сторон.

Как найти длины диагоналей параллелограмма

Пусть a и b — стороны параллелограмма, а d1 и d2 — диагонали. Тогда длины диагоналей могут быть найдены по следующим формулам:

ДиагональФормула
Диагональ d1d1 = √(a2 + b2 — 2abcos(α))
Диагональ d2d2 = √(a2 + b2 + 2abcos(α))

Здесь α — угол между сторонами параллелограмма.

Приведем пример. Пусть длина стороны a равна 5, длина стороны b равна 8, а угол α между сторонами составляет 60 градусов. Тогда можно рассчитать длины диагоналей следующим образом:

Диагональ d1 = √(52 + 82 — 2 * 5 * 8 * cos(60°))

Диагональ d2 = √(52 + 82 + 2 * 5 * 8 * cos(60°))

Подставив значения и произведя необходимые вычисления, мы получим:

Диагональ d1 = √(25 + 64 — 80 * 0.5) = √89

Диагональ d2 = √(25 + 64 + 80 * 0.5) = √121 = 11

Таким образом, длина первой диагонали d1 равна √89, а длина второй диагонали d2 равна 11.

Зная длины диагоналей параллелограмма, можно воспользоваться формулой для нахождения его площади и выполнять другие вычисления, связанные с этой геометрической фигурой.

Объяснение формулы площади параллелограмма через диагонали

Площадь параллелограмма может быть вычислена с использованием длин его диагоналей. Формула для вычисления площади параллелограмма через диагонали имеет вид:

S = |d1| * |d2| * sin(θ)

где

  • S — площадь параллелограмма;
  • d1 — длина первой диагонали;
  • d2 — длина второй диагонали;
  • θ — угол между диагоналями.

Эта формула основана на свойствах параллелограмма, в частности, на том, что диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.

Для вычисления площади параллелограмма через диагонали нужно знать длины обеих диагоналей и угол между ними. Для этого можно использовать различные методы, такие как измерение с помощью специальных инструментов или вычисление с использованием теорем тригонометрии или геометрических свойств фигуры.

Пример вычисления площади параллелограмма через диагонали:

  1. Дано: длина первой диагонали — 8 см, длина второй диагонали — 5 см, угол между диагоналями — 60°.
  2. Вычисляем синус угла (θ) с помощью тригонометрических функций или таблиц: sin(60°) = √3/2 ≈ 0.866.
  3. Подставляем значения в формулу площади параллелограмма: S = 8 * 5 * 0.866 = 34.64 см².

Таким образом, площадь параллелограмма со см заданными длинами диагоналей и углом между диагоналями составляет около 34.64 см².

Примеры расчета площади параллелограмма через диагонали

Чтобы наглядно продемонстрировать расчет площади параллелограмма через диагонали, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1:

Дано: параллелограмм со сторонами, равными 8 см и 5 см, и диагоналями, равными 6 см и 4 см.

Решение: используем формулу площади параллелограмма через диагонали: S = 0.5 * d1 * d2, где d1 и d2 — диагонали параллелограмма.

Подставляем значения в формулу: S = 0.5 * 6 см * 4 см = 12 см2.

Ответ: площадь параллелограмма равна 12 см2.

Пример 2:

Дано: параллелограмм со сторонами, равными 10 м и 7 м, и диагоналями, равными 8 м и 6 м.

Решение: используем формулу площади параллелограмма через диагонали: S = 0.5 * d1 * d2, где d1 и d2 — диагонали параллелограмма.

Подставляем значения в формулу: S = 0.5 * 8 м * 6 м = 24 м2.

Ответ: площадь параллелограмма равна 24 м2.

Пример 3:

Дано: параллелограмм со сторонами, равными 12 дюймов и 9 дюймов, и диагоналями, равными 10 дюймов и 6 дюймов.

Решение: используем формулу площади параллелограмма через диагонали: S = 0.5 * d1 * d2, где d1 и d2 — диагонали параллелограмма.

Подставляем значения в формулу: S = 0.5 * 10 дюймов * 6 дюймов = 30 дюймов2.

Ответ: площадь параллелограмма равна 30 дюймов2.

Таким образом, расчет площади параллелограмма через диагонали не составляет труда, если известны значения диагоналей параллелограмма.

Оцените статью